EL TANGRAM
La utilización del tangram como recurso de apoyo en el aula de matemáticas.
El tangram es un rompecabezas geométrico, posiblemente inventado
en China, que consta de siete piezas, de las distintas variantes una de
las más conocidas está formada por 5 triángulos rectángulos
de distintos tamaños, dos pequeños, uno mediano y dos grandes,
un cuadrado y un romboide. Los triángulos rectángulos pequeños
son la mitad del mediano y este, a su vez, la mitad de los dos grandes.
El cuadrado y el romboide equivalen a dos triángulos de los pequeños.
El juego consiste en construir,
con todas las piezas, un número casi ilimitado de posibles figuras
de las que sólo conocemos su silueta.
En China se le llama Ch’i Ch’ae pan o juego de los 7 elementos,
esta palabra data de la época de Chu, entre 740 – 330 a.C.
Las siete piezas están relacionadas con una costumbre china según
la cual el pasar un hilo por los siete agujeros de una aguja el séptimo
día del séptimo mes traía suerte.
Para simplificar la nominación de las piezas numeraremos cada una de ellas.
Los triángulos pequeños
serán las piezas 1 y 2
El cuadrado será la pieza número 3
El romboide la pieza número 5
El triángulo mediano la pieza 4
Los triángulos grandes serán las piezas 6 y 7
La finalidad de este trabajo es que los alumnos adquieran soltura manipulativa
al mismo tiempo que desarrollan diferentes capacidades como iremos analizando
a lo largo de este artículo.
El pasar de tener las piezas desordenadas a tenerlas colocadas significa
visualizar una serie de líneas ocultas en la figura, de la que
sólo conocemos la silueta. Para llegar a la solución gráfica
el alumno pasa de trabajar con fichas concretas a realizar una idea que
sólo existe en su imaginación.
El alumno al resolver el problema a base de mover las piezas entre sí,
está utilizando, sin ser consciente de ello, el método de
ensayo – error.
El hecho de tener que encontrar determinadas figuras, tanto sencillas
como complicadas obliga al alumno a visionar mentalmente las líneas
divisorias entre las piezas por lo que irá introduciéndose
en la abstracción geométrica
El paso de visualizar las piezas
como elementos distintos a conseguir la figura implica un grado de abstracción,
posiblemente un grado mínimo pero necesario si queremos que un
alumno llegue al “sumun” de la abstracción; porque
no se puede llegar a la profundidad de un océano sin comenzar por
nadar por la superficie con la cabeza hundida y los ojos cerrados. La
manipulación con el tangram nos permiten ese nadar por la superficie
de la abstracción, para poco a poco hundirnos en principio en la
geometría y a continuación seguir hundiéndonos en
otras experiencias más profundas.
complicadas obriga ó alumno a visionar na súa mente as liñas
divisorias entre as pezas o que vaino levar os primeiros contactos coa
abstracción xeométrica.
Las aplicaciones de este rompecabezas nos llevarán al estudio de:
superficies, longitudes, fracciones, números irracionales, teorema
de Pitágoras, etc.
Comenzaremos por construir piezas sencillas para ir aumentando el grado
de dificultad de los ejercicios mediante el incremento de sucesivas piezas,
de esta forma el alumnos va adquiriendo destrezas y confianza por lo que
sería un error comenzar con todas las piezas al mismo tiempo, siendo
esta la manera para la que está preparado el juego y que casi en
la totalidad de los libros que lo desarrollan viene de esta forma, algunas
excepciones se nos ofrecen a esta regla siendo una de ellas el programa
“matemáticas en 1º ESO “, desarrollado por Manuel
Díaz. Por lo tanto deberemos comenzar con pocas piezas para construir
figuras fáciles, e ir aumentando progresivamente la dificultad
de los ejercicios que estará en proporción del número
de piezas a utilizar conjuntamente.
La importancia del trabajo manipulativo se complementa con la mejora de
la capacidad de abstracción del alumno dado que se ve obligado
a visionar mentalmente las lineas divisorias entre las piezas, conduciéndolo
a sus primeros contactos con la abstracción geométrica.
La rapidez en la ejecución de piezas cada vez más complicadas,
lo que es un síntoma de mejora manipulativa, no tiene sentido si
no se entiende como una mejora en el aumento de la capacidad de abstracción
del alumno.
Lo más fácil es comenzar por las piezas 1 y 2 para construir
un triángulo rectángulo, un cuadrado y un romboide, equivalentes
a las piezas 3, 4 y 5.
También podemos aprovechar la circunstancia de construir las mismas figuras con las piezas 6 y 7 lo que debería llevar al alumno a la conclusión de que el tamaño no influye en el grado de dificultad del ejercicio.
Algunos alumnos tienen dificultades en darse cuenta de que lados de distinta longitud no pueden estar juntos, y los vemos dándole vueltas a las fichas, sin ton ni son, esta actitud hay que corregirla pues no se está resolviendo un problema, si no que sólo se le está dando vueltas sin poner por parte del alumno el interés necesario para que sea una actividad creativa y no un mero pasatiempo sin interés.
Puntos que se pueden desarrollar con el apoyo del tangram
Estudio de distancias.
Medidas de lonxitude e de superficie.
Medida de ángulos.
Medidas e comparaciones de las superficies de figuras planas empleando
distintas técnicas tales como a descomposición en otras
más simples, la superposición, o recubrimiento con una unidad
de medida, etc.
Trabajo con diferentes tangrams para introducir la manipulación
geométrica, y prácticar la técnica del ensayo - error.
SUPERFICIES Y LONGITUDES CON EL TANGRAM
Tomando como unidad el lado del cuadrado
(pieza nº 3).
Cada lado del cuadrado mide 1 unidad de longitud
Razona por escrito las contestaciones a las siguientes preguntas:
La superficie del cuadrado con estas unidades mide:____
¿Cuánto mide la superficie
de cada una de las otras piezas del tangram?
Las piezas nº 1 y nº 2 miden cada una de ellas _____ unidades
de superficie
Las piezas nº 6 y nº 7 miden cada una de ellas _____ unidades de superficie
La pieza nº 5 mide _____ unidades de superficie
La pieza nº 4 mide _____ unidades de superficie
Si dos figuras tienen distinta forma
¿pueden tener la misma superficie? ____
Pon dos ejemplos.
¿Cuántas unidades de superficie mide el cuadrado formado por los triángulos numerados con el 6 y 7 del tangram? ____
Si con las piezas 6 y 7 hacemos un
romboide ¿qué superficie tiene? ____
Si con las piezas 6 y 7 hacemos un triángulo ¿qué
superficie tiene? ____
¿Coinciden, o no, con la del cuadrado anterior? ____ ¿Por
qué coincide?
Tacha lo que esté mal
Figuras distintas # pueden, o no pueden, # tener
la misma superficie
Mide su perímetro, a falta de instrumentos adecuados, utiliza un hilo o un cordel y contesta la siguiente propuesta tachando lo que no proceda:
Figuras con igual superficie tienen: mismo perímetro - distinto perímetro (tacha lo que no proceda)
¿Cuántas unidades de superficie mide el rectángulo de la cabecera?
Por lo tanto la superficie de cada uno de los dos mayores cuadrados que
lo forman miden: ______
La figura nº 5 es un ______________, porque: __________________________
Sus lados miden: _____ y ____ porque son __________ dos a dos.
Acuérdate de que la unidad de
longitud es el lado del cuadrado nº 3
Cada uno de los lados mayores mide: _____unidades de longitud
¿Los lados más pequeños miden _____unidades de longitud?.
¿Con qué longitud coincide el lado pequeño del romboide nº 5?
¿Y la longitud del lado grande con que otra, u otras longitudes coincide?
¿Son exactas esas medidas?
¿Cuántas unidades de longitud mide la hipotenusa del triángulo nº 4?
¿Y las de los triángulos nº 1 y 2?
¿Y de los triángulos 6 y 7?
¿Qué relación hay entre ellas?
Compruébalo de dos formas diferentes por lo menos. ____
Por lo tanto vemos que hay longitudes
que miden unos valores que son exactos pero hay otras que no.
Para conseguir el valor de las medidas que no son exactas, en caso de
que sean los lados de un triángulo rectángulo o de una figura
que se pueda descomponer en varios de ellos utilizaremos el teorema de
Pitágoras.
Tacha lo que no sea cierto: El romboide
5, el cuadrado nº 3 y el triángulo nº 4
Tienen la misma o distinta superficie
Recuerda: Perímetro de una figura
es la suma de las longitudes de todos
sus lados
Las medidas de los perímetros
del romboide 5,
del cuadrado nº 3 y del triángulo nº 4 son : (Tacha lo
que no sea cierto)
iguales distintas
Entonces: Las figuras pueden tener
la misma
superficie pero tener distinto perímetro.
¿Puede suceder lo contrario? ¿Habrá figuras que tengan el mismo perímetro pero distinta superficie?
¿Qué figuras tienen de superficie 1 unidad?
¿Qué figuras tienen de superfice 2 unidades?
Construye tres figuras que tengan de superficie 1.5 unidades
Construye figuras que midan tres unidades de superficie
¿Cuántos cuadrados, utilizando todas las piezas al mismo tiempo, se pueden formar que midan cuatro unidades de superficie?
EL TAMGRAM Y LAS FRACCIONES
Los ejercicios que vienen a continuación son una muestra de los que se pueden realizar utilizando el tangram como base maniupulativa para el estudio de las fracciones.
Partiendo del cuadrado 3 como unidad de superficie podemos empezar a trabajar
las fracciones más simples.
Construir una figura de medida ½
Construir una figura de medida 3/2
¿Cuántos cuadriláteros
puedes formar? ¿Qué figuras forman?
¿Algunas de ellas son iguales?
Formar una figura cuya superficie
sea 5/2
Si tenemos que el cuadrado tiene
superficie 1 decir cuánto mide medio triángulo 1
Ordena de menor a mayor las siete figuras fundamentales del tamgram en función de su superficie.
Calcula la doceava parte de la superficie de la siguiente figura
Calcula que fracción de superficie es el cuadrado en las figuras
siguientes.
A la vista de los resultados anteriores contesta las mismas preguntas
pero con relación al:
a) triángulo 1
b) al romboide 5
TEOREMA
DE PITÁGORAS
Los números 3, 4, 5 son los números naturales más pequeños que verifican el teorema de Pitágoras.
Los egipcios ya conocían
esta propiedad y la utilizaban para dibujar ángulos rectos, y así
poder construir edificios (pirámides, entre otros) con las paredes
formando ángulos rectos. Encuentra más números que
verifiquen el teorema de Pitágoras.
Si no los das encontrado prueba con los múltiplos de los tres anteriores
( los mismos mútiplos para cada uno de ellos)
Calcula ahora las medidas de las hipotenusas de los triángulos 1, 2, 6, 7
Calcula lo que miden los dos lados mayores del romboide nº 5
¿Cuánto mide la diagonal del cuadrado nº 3? _______
Como ya sabes el triángulo
nº 4 es un triángulo _________
(clasifícalo por sus lados y sus ángulos)
¿Cómo podemos averiguar lo que mide cada uno de sus lados si ya conocemos lo que mide su hipotenusa?.